Наличие коронавирусной инфекции в вашем случае вызывает большие сомнения. Если бы это был коронавирус, то после длительной болезни должны были бы образоваться специфические антитела IgG, которых у вас нет. Вирус не был выделен из организма (не обнаруживался в мазках), характерных изменений в легких не было, специфических антител нет. Возможно, что это и не коронавирус вовсе. Дело в том, что антитела IgM не обладают стопроцентной специфичностью. Они могут повышаться при ряде состояний, не связанных с коронавирусом. Например при интенсивных занятиях спортом, в результате стресса, в связи с постоянным приемом некоторых лекарственных препаратов, при аутоиммунных расстройствах, на фоне хронических инфекционных или грибковых заболеваний, после прививок и т.п. Надо поискать причину.
Если не будет выявлено никаких серьезных проблем с иммунитетом, то да, прививку делать можно (когда/если вакцина пройдет необходимые клинические испытания). Поскольку в настоящий момент иммунитета к коронавирусу у вас нет. Ребенку можно ходить куда угодно, если у него чистые анализы и на руки не выдано постановления об изоляции.