Как справедливо заметили предыдущие эксперты, здесь дело скорее не в технике дыхания при беге.
По моему опыту, боль в боку возникает от не тренированности, не приспособленности организма к данному виду нагрузки. Я сам в школьные годы ненавидел играть в футбол, как раз потому что у меня начинал болеть бок после 2-3 минут бега. При этом успешно занимался акробатикой.
Сейчас я полюбил бег. Начинал так - бежал трусцой пока не уставал (либо пока не начинал болеть бок) затем переходил на быстрый шаг и шел. Потом снова бежал и снова шел. 6 лет назад для меня был рекорд - пробежать 2 км без перехода на шаг. Теперь 7-10 км для меня нормальная тренировка 2-3 раза в неделю.
В теории физиология этого явления следующая: при аэробных (циклических нагрузках) венозная кровь более активно начинает подниматься и поступать к органам ЖКТ - печени, поджелудочной железе и т.д поэтому начинает чувствоваться тяжесть в правом (либо левом) боку, иногда переходящая в боль.
Как только организм адаптируется к данному виду нагрузки - боль исчезнет. Как адаптировать организм? Постепенно, главное не стараться "перетерпеть", снижать нагрузку при появлении боли.
Один из вариантов написал выше.
И еще очень важно, как писали предыдущие авторы - не бегать после приема пищи, особенно жирной пищи.