Можно ли заниматься с грыжей позвоночника?

Можно и нужно.

Но при этом нужно исключить травмирующие позвоночник упражнения.

1)Нельзя делать упражнения, в которых идет удар сверху вниз (прыжки, бег)
2)Нельзя делать движения  на "разгиб" позвоночника - то есть когда вы наклоняетесь и что-то поднимаете, разгибая позвоночник.
Это в первую очередь различные виды тяги, которые так любят рекомендовать женщинам для прокачивания ягодиц (румынская тяга, мертвая тяга).
Какая бы идеальная техника выполнения у вас не была, больному позвоночнику наступит трындец от тяг

3)осевые нагрузки с большими весами нежелательны (присед со шпангой, присед с гирей). Лучше заменить их жимами в тренажере.

4)Выполняя упражнения следите за тем, чтобы не прогибать поясницу. Например, это особенно актуально для махов ногами (как стоя так и стоя на четвереньках), многие прогибают поясницу при выполнении махов.

А вообще в целом ориентируйтесь на ощущения. Когда вы решили попробовать новое упражнение, сделайте его поначалу немного и проследите, как чувствует себя ваш позвоночник на следующий день. Если начало болеть, тянуть мышцы, то это упражнение не подходит.