Так-то, относятся, но не сильно.
Современные монголы - халха-монголы, бурят-монголы и калмык-монголы, несомненно, прямые родственники тех монголов, что шли в завоевания, только это те, кто остался дома. Калмыки передислоцировались, но это было как следует позже.
Те монголы, что были татаро-монголами и завоевателями, растворились среди покорённых народов в созданных ими государствах. В частности, на территории Золотой Орды aka Улуса Джучи основным населением были различные тюркские народности. Вот они и взяли себе имя "татары".
В Афганистане живёт народ хазарейцев или хазара. У них сохранилась соответствующая внешность. Это - потомки завоевателей.
P.S: откуда взялось слово "татары" - отдельная история, по поводу которой есть разные теории. Ну например, что это было одно из монгольских племён (позже уничтоженное Чингисханом), и совершило набеги пораньше его экспансии, вследствие чего так стали звать и других монголов. Но есть версии и по поводу более раннего происхождения имени.