Как решали языковую проблему в Австро-Венгрии?

Да примерно так же, как это обычно делается в многонациональных империях. В официальных учреждениях и для мероприятий в рамках всей страны, как и для общения между подданными разной национальности, используется язык государствообразующего и (или) доминирующего этноса. (*Почему в скобках "или": в Великом княжестве Литовском, например, предки беларусов и украинцев составляли большинство и доминировали по численности, хотя и не были у основания державы. Наоборот, в Австро-Венгрии ни немцы, ни венгры не составляли ощутимого большинства). Бывает, когда лингва франка, который в принципе имеет хождение на огромной территории, хоть и мало для кого родной, но здесь - нет. В Цислейтании, т.е, той части империи, что была какбе Австрией, употреблялся немецкий. В Транслейтании, т.е, территориями под венгерской короной - венгерский. Стоит отметить, что на венгерских территориях прессинг мадьяризации был достаточно сильным. Так, у Я.Гашека есть рассказ "Исправный учитель", где показано, как словак в карьерных целях придумывает себе венгерские имя и фамилию. В то же время в Цислейтании вовсю идёт процесс культурной эмансипации различных народов, особенно это можно видеть на примере чехов. В Праге на домах появляются новые таблички с названиями улиц на чешском. Выходило множество изданий на национальных языках (в австрийской части). В плане образования, на уровне начальных народных школ, вопрос о языке преподавания решался на местах. На деле, существовали сильные региональные различия. Активнее и успешнее всего бороться за образование на своём языке получалось у чехов. Словаки и словенцы, жившие под венграми, подвергались мадьяризации, и в школы направлялись учителя без знания славянских языков (что также отражено в упомянутом рассказе Гашека). В Галиции поляки, находившиеся в хороших отношениях с режимом, проводили полонизацию. В тех местах, где жило большинство итальянцев, ущемлялись, опять-таки, права славян.