Что выиграла и что проиграла Русь в результате разгрома князем Святославом Хазарского ханства?

В результате разгрома Хазарского каганата в 965 г. у Руси появилась возможность присоединить к себе обширные земли вятичей, данников хазар (впрочем, завоевание вятичей завершилось лишь в конце XI в., после двух походов Владимира Мономаха), и значительно расширить свои владения в Северном Причерноморье (о каких-то владениях Руси на Боспоре Киммерийском ещё во времена Игоря упоминал Лев Диакон). Чего-то более существенного Русь в результате восточной политики Святослава не получила: сокрушив Хазарский каганат Святослав потерял интерес к Поволжью и в 967-68 гг. переключился на завоевание Нижнего Подунавья.

Хазарский каганат, утратив свои причерноморские территории, восстановился уже к 981 г. при военной поддержке из Ширвана. По свидетельству Иакова Мниха Владимиру Святославичу в 985г. пришлось повторить поход своего отца на Булгар и Итиль, чтобы вернуть себе хазарскую дань: "и сребреныя болгары побѣди, и на козары шедъ, побѣди я и дань на них положи". Тогда хазарский каган обратился за помощью в Хорезм, пообещав хорезмшаху принять ислам. Однако закрепиться в Нижнем Поволжье не удалось ни русам, ни хорезмийцам. Ал-Бируни уже в 1030-х гг.  отмечал, что город Итиль лежит в руинах, а страной хазар владеют огузы, предки современных турок.

Если выигрыша от падения Хазарского каганата было немного (выгода от исчезновения таможенных сборов полностью компенсировалась возросшей опасностью при переволоке судов из бассейна Дона в бассейн Волги), то и проигрыш от исчезновения этого государства был незначительным. Хазары сыграли свою роль в VIII в., став щитом Восточной Европы от арабского нашествия, но помешать проникновению в европейские степи всё новых и новых кочевых орд были уже не способны. Могущество хазар сильно подточила гражданская война, вызванная реформами кагана Обадии и длившаяся всю первую треть IX в. Пользуясь этой усобицей в причерноморские степи проникли мадьяры, отрезавшие от каганата многих его славянских данников. 

Дань хазарам дольше всех продолжали выплачивать вятичи, заинтересованные в торговом пути по Оке и Волге, но ни у полян, ни у северян, ни у радимичей необходимости выплачивать эту дань не было - мадьярские кочевья надёжно оторвали их от Хазарии ещё в начале IX в. Так что ПВЛ немного лукавит, изображая русских князей освободителями славян от хазарской дани. На смену мадьярам пришли печенеги, затем торки и прочие огузские кочевые племена, но хазарские каганы уже не имели сил препятствовать их переправам через Волгу. Торговым же караванам, снующим вверх-вниз по Волге, кочевники не могли помешать ни во времена Хазарского каганата, ни после его исчезновения.