Насколько правомерно абстрактную симметрию, отождествлять с симметрией геометрической (т.е. с симметрией пространственных отношений)?
Абсолютно каждой непрерывной симметрии, соответствует своя определенная группа. Но те же самые симметрии, мы можем наблюдать и в геометрических (пространственных) отношениях, притом описывая их абстрактными группами?
Например: Любую конечную Абелеву группу можно представить (геометризировать) в виде определенного (n-мерного) многообразия. Согласно следующих (аксиоматически заданных) правил:
- ) С нейтральным элементом (unit), в центре симметрии.
- ) Вершинами (top), в качестве которых выступают элементы простых конечных подгрупп на которые разлагаются составные группы (согласно теореме о классификации конечнопорожденных Абелевых групп).
- ) И ребрами (edges), в виде попарных произведений неединичных элементов, соответствующих примарным подгруппа разложения.
Причем, любую примарную (естественно Абелеву) группу порядка p, можно представить (Геометризировать) в виде симметричного n-мерного гиперкуба, размерности n=(p-1)/2.
В качестве примера могу привести геометризацию примарных циклических групп порядков p: 2, 3, 5 и 7.
(на примере коммутативных групп колец вычетов соответствующего модуля p).
Так же в качестве примера изобразил 3D геометризацию составной циклической группы порядка 15=3*5. Геометризуемую в пространстве размерности 3D, равной сумме размерностей подпространств вложения, соответствующих подгрупп разложения:
т.е. 3D:{Z15} = 1D:{Z3} + 2D:{Z5}.
Так же данная геометризация (на примере разложения составных групп на подгруппы простого порядка), раскрывает геометрический смысл факторизации составных чисел на простые сомножители (согласно основной теоремы арифметики).
А именно:
Представления группы произведения составного порядка p1*p2, в виде суммы: Всех неединичных элементов соответствующих примарных подгрупп (вершин "top"). И количества всех попарных произведений соответствующих неединичных элементов (ребер "edge"). Плюс нейтральный элемент (центр симметрии "unit"), который является общим для всех простых подгрупп разложения.
Т.е. ((p1-1)+(p2-1)) + ((p1-1)*(p2-1)) +1 = p1 p2.
Что на примере геометризации группы порядка 15, есть:
top:{6=2+4} неединичных элемента подгрупп Z3 и Z5 соответственно.
edge:{8=2*4}, межэлементных связи (ребра).
И один units:{1}, общий нейтральный элемент в качестве центра симметрии .
Что соответствует сигнатуре: 6+8+1=15=3*5.
МатематикаСимметрия+2