Возможно ли сформулировать конечный достаточный набор аксиом в планиметрии?

Это сложный вопрос. Дело в том, что этот набор (как и любая другая (см. ниже) аксиоматика) должен удовлетворять требованиями:
× независимость,
× непротиворечивость;
× полнота.
Независимость понимается в том смысле, что в аксиоматике не должно быть аксиом, которые выводились бы из остальных, просто в ином случае аксиома перестаёт быть аксиомой в силу определения. Непротиворечивость понимается в том смысле, что в этом наборе не должно быть взаимоисключающих утверждений (утверждений вида «A и не-A»). В ином случае в аксиоматике и в аксиоматической системе будут противоречия (если, конечно, наша аксиоматика и Система принимают законы классических логик: пропозициональная, первого порядка и т. д.) А вот будут ли противоречия в этой Системе, если таких аксиом не будет (вида «A и не-A») — отдельный вопрос, ответ на который, от части, даёт теорема Гёделя о непротиворечивости.
Полнота Системы говорит о том, что не найдётся в Ней таких утверждений, которые нельзя было бы доказать (либо опровергнуть) в рамках Системы.
Возвращаясь к вашему вопросу... Что значит: «<...> достаточный набор аксиом в планиметрии?» Это такой набор, которого хватило бы для того, чтобы что? Чтобы получить все известные теоремы планиметрии или все теоремы? В первом варианте можно поступить так... Берёте эти известные теоремы, устанавливаете между ними логические связи: смотрите является ли одна теорема следствием другой (не равносильной формулировкой!) Таким образом сводите (схлопываете) всё это множество Теорем к тем, из которых можно получить все остальные Теоремы.
После чего есть два варианта: можете эти теоремы принять за аксиомы (в контексте вопроса, странная получится планиметрия, в которой её теоремы будут аксиомами) проверив их на условия, приведённые выше (как минимум один — независимость — выполняется, т. к. полученные теоремы не являются следствиями остальных) либо пытаться свести эти теоремы к аксиомам, из которых эти бы теоремы следовали. При этом можно сразу задуматься над вопросом: единственной ли будет аксиоматика, из который следовали бы теоремы?
Это не всё. Вернёмся к вопросу: чтобы получить все известные теоремы планиметрии или все теоремы? Если выбираем второй вариант, то... То здесь всё не очень. Знать наперёд все теоремы планиметрии при некоторой аксиоматике не получится, потому что та или иная теорема она не из воздуха берётся, а доказывается (выводится). Поэтому мы остаемся на первом варианте: подводим такую аксиоматику, из которой следовали бы основные результаты, полученные в планиметрии.

Если вам необходимы конкретные аксиомы, которые были бы более полными чем классические аксиомы геометрии Евклида, то смотрите аксиомы Гильберта [1-2].