МАТЕМАТИКА ПРОТИВ ИНТУИЦИИ.

Перед Вами три шкатулки – две пустые, в одной деньги. Вы наугад выбрали одну из шкатулок. Ведущий открыл другую пустую и спросил, по-прежнему ли хотите открыть всё ту же шкатулку или стоит изменить начальный выбор?

На первый взгляд может показаться неочевидным, но математика говорит, что в одной из шкатулок деньги обнаружатся более вероятно, чем в другой.

Представим следующую ситуацию. Вы ищете редкий минерал, который встречается в одном камне из тысячи. Вы терпеливо раз за разом возите груду камней из шахты к месту обработки и кропотливо перебираете камень за камнем, но оно того стоит – за найденный минерал можно выручить 1000$. Однажды в шахте Вам встречается учёный-геолог, который разработал сверхчувствительный детектор для обнаружения этого редкого минерала. Точность детектора составляет 99% (идеальных приборов не существует, лишь 1% приходится на ложноположительные результаты) и геолог уже обнаружил камень, на который среагировал прибор. Ваш коллега по поиску предлагает Вам приобрести данный камень за 200$, сделка выглядит многообещающей, но Вы подозреваете неладное из-за неочевидности мотивов геолога. Однако тот парирует опасения, обосновывая своей ленью следовать до места обработки камней, и ему целесообразнее продолжить поиски.

Что ж, стоит ли принимать предложение? Купить камень за 200$, на который среагировал детектор с точностью 99%, в то время как за обнаруженный минерал можно выручить 1000$, а его частота обнаружения соответствует 0.1%. Иными словами – насколько велика вероятность обнаружения минерала в данном камне?

Вернёмся к шкатулкам. Это известный парадокс Монти Холла, хотя ничего парадоксального в поставленной задаче нет. При изначальном выборе шкатулки – вероятность обнаружения денег была 1/3. После вскрытия ведущим другой пустой шкатулки – вероятность обнаружить деньги в изначально выбранной шкатулке всё ещё 1/3, а если изменить свой выбор в пользу второй закрытой шкатулки – вероятность обнаружения денег повышается до 2/3. Всё верно, не 50/50, а 1/3 для изначально выбранной шкатулки и 2/3 при выборе другой шкатулки после вскрытия пустой.

В задачах, связанных с вероятностью, нагляднее оперировать большими выборками и большим числом повторений (именно так работают учёные, всё время повторяющимися экспериментами уточняя свои модели). Представим, что шкатулок не три, а тысяча. После выбора шкатулки, ведущий вскрывает 998, остаётся две. Уже очевиднее, что вероятности распределились не 50% на 50%? Ведь угадать с первого раза из тысячи единственную шкатулку с деньгами не очень вероятно (1/1000). Если изменить выбор в пользу второй шкатулки – проигрыш возможен только если изначально повезло угадать ту самую шкатулку из тысячи. Если же мы изначально ошиблись (вероятность этого 999/1000), то изменение выбора будет победоносным.

Математика — царица наук. Она точна (в отличие от физики, которая гораздо сложнее). И даже в повседневном опыте она способна приструнить нашу интуицию, пронизанную когнитивными искажениями. Недостаточно подкованный математикой мозг очень любит игнорировать статистику и вероятности. Мы склоны делать неверные выводы по единичной оценке, не накопив достаточно статистических данных. Если человеку не повезло единожды попасть в 3% плохо оказанных услуг (в автосервисе 97% услуг оказывается на высочайшем уровне), то он будет отговаривать друзей обращаться туда, и советовать другие сервисы (где вероятность хорошего ремонта может быть существенно ниже). Если при подбрасывании монетки выпало 10 решек подряд, разве не очевидно, что в 11-й раз вероятнее выпадет орёл? В действительности, это не так. Вероятность выпадения орла всё та же – 50%.

Вряд ли интуиция вам скажет, что при восьми бросках монеты вероятности выпадения ОООООООР и ОРООРРОР одинаковы :) Ведь вторая последовательность кажется вероятнее, не правда? :) Это ошибка игрока (или ложный вывод Монте-Карло), склоняющая лудоманов ставить на "красное" после многочисленных "чёрных" выпаданий, в то время как шарик рулетки ничего не знает о предыдущих результатах.

Определились с покупкой камня? Давайте посчитаем вероятность. Снова представим тысячу камней. Из этой тысячи минерал вероятно окажется лишь в одном. И детектор вероятно на него среагирует (с точностью 99%). Но что насчёт 999 оставшихся пустых камней? На 99% из них, то есть примерно на 989 камней, детектор никак не среагирует. Но детектор по ошибке (1%) среагирует на 10 пустых камней (ложнопозитивный результат). Значит детектор даст положительный сигнал для 11 камней из 1000, и продаваемый кусок может быть любым из них. И только в 1 из 11 вероятно будет минерал, что даёт шансы обнаружить минерал в продаваемом куске в 9%.

Очевидно, что купить за 200$ шанс в 9% заработать 1000$ — не лучшая инвестиция.

Но почему интуитивно сделка не казалась столь безнадёжной? Эта ошибка в мышлении именуется игнорированием базового процента. Мы сосредотачиваемся на высокой точности детектора, в то время как наша интуиция пренебрегает редкой частотой встречаемости минерала.

Поскольку погрешность прибора 1% всё ещё выше частоты встречаемость 0.1% — срабатывание детектора, скорее будет, ложноположительным. При 99% точности и частоте обнаружения в 0.5% шансы реального обнаружения при детектировании будут 34%, при частоте в 1% — вероятность верного срабатывания 50%. Что равносильно подбрасыванию монетки :)

Разве это так важно? Тоже мне, теория вероятностей сводится к решению каких-то умозрительных задачек по подбрасыванию монеток да кубиков… Да и где мне эти ваши косинусы после школы пригодятся?

А что, если редкий минерал – это болезнь, встречающаяся у одного человека из тысячи? А детектор с погрешностью в 1% — самый современный медицинский тест, который показал положительный результат? И вместо того, чтобы писать завещание, математически грамотный человек проведёт независимую проверку. Если же второй тест будет положительным, то вряд ли это будет совпадением – вероятность справедливого диагноза по двум тестам (при 1% ложноположительных результатов) увеличится до 91%, что всё равно меньше изначально заявленной точности теста в 99%.

Проблема ложноположительных результатов распространена не только в медицине (что приводит к стрессу и ненужным операционным вмешательствам), но и, например, при алкотестировании водителей патрульными службами и т.д.

Элементарные математические подсчёты могли бы здорово упростить нам жизнь во многих повседневных ситуациях, но зачастую мы предпочитаем молниеносные интуитивные решения, которые зачастую в конфликте со строгим математическим счётом и влекут не лучший результат. Мир вокруг нас устроен вероятностно, местами даже контринтуитивно —  тем более на незримом квантовом уровне, где квантовомеханические неопределённости ограничивают физиков в высокоточных измерениях, а маловероятные эффекты поддерживают жизнь на нашей планете (подробнее). И всё это достаточно строго описывается математикой, без которой понять устройство Вселенной попросту невозможно.