Аня разорвала листок бумаги на 5 частей, некоторые из получившихся кусков она снова разорвала на 5 частей и т.д Могла ли она получить2023 к?

"Все говорят, что мы вместе…" (Виктор Робертович Цой, кажется, "Бошетунмай")

Старая Толпыго - Дынкинская задача в одном из первых выпусков старинной библиотечки физматшколы (васильково-белая, голубого-белого цвета брошюры соотв. первого и второго выпусков, наверное встречается в сб. Лемана московских матолимпиад, надо смотреть).

Идея - сыграть на однозначности деления с остатком (неполного, вообще говоря и в данном конкретном случае частного и, особенно, остатка; делитель / модуль по Гауссу - в данном случае есть 4).

А. Имеем в начале один единственный кусок.

В. При первом его разрыве получим ровно

5 = 4 • 1 + 1 кусков.

С. Пусть запись 1 > 5 читается как "1 (кусок) переходит (при разрыве его) в ровно 5 кусков".

Тогда при последующем любом разрыве мы получим при 1 >  5:

4 • 1 + 1 > 4 • 1 + 5 = 4 • 1 + 4 • 1 + 1 = 4 • 2 + 1.

D. И с каждым последующим разрывом мы имеем после в точности k разрывов по индукции ровно

4 • k + 1 кусков.

Е. Теперь "вступает в бой" указанная теорема об однозначности "выходных данных" (нам понадобится в дальнейшем только одно данное из двух, а именно - остаток от деления на 4) при делении с остатком.

Имеем с одной стороны:

2023 = 2020 + 3 = 4 • 505 + 3 (проверяется умножением столбиком первых двух чисел или же делением столбиком 2023 на 4).

Посему, никакой порядок разрывов, согласно указанной теореме, не приведёт нас от одного - единственного куска к числу кусков, равному 2023.

Что и требовалось.

Литература.

Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло, Ю.А. Дробышев, И.В. Дроьышева, А.И. Кудрявцев.

Алгебра: Для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Под ред. Н.Я. Виленкина, - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

См. Гл.III. Делимость чисел. Простые и составные числа. Параграф 1. Делимость чисел. Теорема из раздела 2 (Делимость целых неотрицательных чисел) на стр. 87 - 88.

Л.К. 

Пишу в ночь на 28 число декабря месяца в довольно замотанном состоянии. Прошу рассматривать как предварительный набросок ответа.

Перечитал: вряд ли буду дорабатывать, разве что при наличии любопытства читателей укажу дополнительную литературу.

К.