Преподавание китайского языка есть в большом числе крупных вузов, в том числе как второго языка, с нуля. Для этого нужно поступить на специальность, которая предполагает изучение двух иностранных языков, например, востоковедение или международные экономические отношения.
Пройти стажировку в Китае можно, если китайский вуз заключил соглашение с вашим учебным заведением. Об этом можно узнать в приемной комиссии или на сайте вуза. Разумеется, всех на стажировку не посылают, нужно будет подать заявление и пройти конкурс.
Очень много возможностей к изучению китайского и расширенные варианты стажировки в Китае есть в вузах Южной Сибири и Дальнего Востока.