Можно ли сдать экзамены экстерном за 5 класс?

Да, это возможно. В классическом понимании экстернат как вид самостоятельный учебы отменен во всех российских образовательных организациях (школа/колледж/вуз). Однако на уровне общеобразовательной школы появилась альтернатива.

Для перевода школьника на экстернат необходимо изменить форму обучения: для учеников с 1 по 9 класс это будет семейное образование. Согласно законодательству (статьи 17, 58,63 федерального закона «Об образовании в Российской Федерации»; приказы Минпросвещения России (№1015 от 30.08.2013 г.; № 115 от 22.03.2021 г.; региональные нормативные документы) к основным формам получения образования и обучения относятся следующие: очная, очно-заочная или заочная. А экстернат был упразднен, на его место пришла форма аттестации на семейном образовании/самообразовании.

В вашем случае процедура перевода состоит из следующих действий родителей: 

Вы также имеете право на смену школы: в этой ситуации нужно написать еще одно заявление о зачислении в новую школу. При выборе заочной формы обучения важно знать, что учащийся, как и прежде, числится в школе, а родители занимаются оптимальным выполнением программы за текущий учебный год (например, за пятый класс). Как правило, ученик посещает школу преимущественно для промежуточной аттестации.

Если семья приняла решение о переводе ребенка на экстернат/семейное обучение, то нужно обратить внимание на локальные акты и устав образовательного учреждения (школы/гимназии/лицея), где должны быть указаны права и обязанности учеников. Кроме перечисленного, администрация школы обязана назначить тьютора (учитель-куратор), который консультирует каждого ученика, переведенного на семейное обучение (экстернат).