В каких ситуациях следует использовать родственные слова - "технологический" и "технологичный"?

Это слова-паронимы, которые схожи по звучанию и составу, но различаются по значению. Вы верно отметили, что использовать их нужно точно, в соответствии с контекстом.

"Технологический" - это объективизированные и стандартизированные способы и методы протекания какого-либо процесса ("технологическая инструкция", "технологический цикл" и пр.). К сожалению, сегодня данное слово к месту или нет употребляют в неоправданно широком значении. Например, говорят о "педагогических технологиях", "технологиях творчества" и пр. То есть о тех областях человеческой деятельности, которые по самой своей сути носят крайне субъективный характер и не могут быть разложены на стандартизированные технологические этапы и стадии. 

"Технологичный" - значит более экономичный. Например, "технологичная продукция" - продукция, полученная с меньшими ресурсными затратами.