Различаются ли в сознании носителей русского языка гендер слов «табурет» и «табуретка»?

Грамматический род, пол и гендер - понятия не тождественные. Если говорить в грубом приближении род - это языковая категория, пол - понятие биологического свойства,  гендер категория социальная. 

Слово "гендер" заимствовано  из английского языка (gender), где до семидесятых годов прошлого века оно обозначало грамматический род. Однако в 1968 году американский психиатор Роберт Столлер (Robert Stoller) написал книгу "Пол и гендер" (Seх and Gender), где он предложил распространить понятие "гендер" также и на социальную сферу. С этих пор  гендерными стали называть социальные роли, которые навязываются человеку обществом, исходя из категорий "мужское" и "женское". Именно в этом понимании слово "гендер" и вошло в русский язык. Иными словами мужчина, например, это не только человек с известными всем физиологическими особенностями, но и человек, рожденный быть отцом, кормильцем, защитником. Точно также и женщина это не только женщина, но и заботливая мать, хранительница очага, жена и т.д. 

Ну а что касается табуреток и табуретов, социальных ролей они не имеют. Их роль физическая, причем одна на двоих. Они нужны, чтобы на них сидели.  Соответственно, как табурет, так и табуретка  гендера не имеют. Правда, они имеют грамматический род. Собственно, последнее обстоятельство и вносит некоторую путаницу в осмысление рода, пола и гендера.

Впрочем, Вы можете, например, сочинить какую-нибудь сказку про табурет и табуретку. Вы можете их одушевить и рассказать историю их любви. И как повелось во многих сказках, Вы можете поженить их. Табуретка нарожает детишек-табуреточек, будет готовить вкусные обеды и сплетничать с соседками. А Табурет будет вкалывать в своей компании, а по вечерам лежать на диване и смотреть телевизор. Ну и выпьет рюмку-другую. В филологии это называется метафорическим гендером.