На бирже нужно только закупать криптовалюту, а потом выводить ее на личный кошелек, от которого у вас есть приватный ключ (в этом случае субъект действительно владеет криптовалютой). Из криптобирж рекомендую присмотреться к Binance, Huobi, Kraken, Coinlist, OKEx.
Я придерживаюсь правила не хранить все деньги в одном кармане и пользуюсь несколькими биржами. Подбирать биржу под себя нужно с учетом валюты которой распологаете и целей для которых хотите купить/продать её. Лично мой топ бирж выглядит так:
Bittrex
Exmo
Poloniex
Yobit
Bitfinex
Kraken
Nova