Нужно ли спрашивать разрешение завести котёнка, если живёте отдельно, но в бабушкиной квартире?

Если смотреть на Ваш вопрос исключительно с точки зрения законодательства, то если у Вас имеется тот или иной договор о праве пользования квартирой и в нём есть прямой запрет на содержание в квартире домашних животных, то без разрешения (изменения условий договора) собственника завести котёнка не получится.

А если взглянуть на Ваш вопрос с точки зрения простого обывателя, то Вам всё равно желательно получить согласие на содержание в квартире котёнка. 

Так будет правильней и спокойней!