Корень яр который обозначает весна ,белый. И слово яр крутой берег реки. Корень один значения разные. Где подвох. И разве яр и ярк схожи?

Слова из разных языков. 

Слова типа ярость, Ярило, яровой, яркий - родом из праиндоевропейского слова, которое читалось (скорее всего) примерно как "йохр" и обозначало "год". От него произошли, например, английское year и "гор" в слове "гороскоп" (развитие слова шло по цепочке "год" - "время года" - "любое определённое время" - "час"). Ну а в славянских языках, видимо, в силу климата развитие слова было другим: "год" - "весна" - "яркий свет" - "пылающие эмоции". Ну и во всех языках в разное время от этой цепочки отпочковывались соответствующие слова.

А яр в смысле "крутой берег" родом из пратюркского "жар", обозначающего, собственно, берег. Именно потому что слово заимствованное не из нашей праиндоевропейской группы (куда русский тоже входит), а совсем из другого места, оно так и стоит особняком - от него нет ни прилагательных, ни глаголов, к нему нет каких-то суффиксов и так далее. Просто потому что оно появилось в языке довольно поздно и так в нём и не освоилось.

Возможно, в древности эти слова были связаны ещё сильнее (например, пратюркское jar получилось по цепочке "год" - "солнце" - "сиять" - "закат" - "спускаться"), но это прям вилами по воде писано, и сколько-нибудь точных данных настолько далеко в древние языки у нас нет.

Ну а "яр" и "яркий" соотносятся также, как "жар" и "жаркий". "К" - это просто суффикс прилагательного, это он в современном языке слился с корнем.