Разными считаются позиции, где различается хотя бы один признак: положение фигур, очерёдность хода, потенциальная возможность совершения рокировки в какую-либо сторону, а также возможность взятия определённой пешки на проходе. Позиции, где было хотя бы одно взятие любой фигуры, или где хотя бы одна пешка двинулась более чем на одно поле, а также такие, где открылся путь фигурам кроме коней, являются зеркально отражаемыми, то есть чёрные при своём ходе могут получить ровно ту же позицию, что белые при своём. Очевидно, что отражаемых позиций чётное количество. Не-отражаемыми являются такие позиции, где все пешки от b до g включительно, слоны, ферзь и король у обеих сторон находятся на своих начальных положениях, и пешки a и h либо находятся на начальных положениях, либо перемещены на одно поле вперёд. Так как положение короля и ферзя во всех таких расстановках одинаково, чётность количества позиций равна чётности количества симметричных (относительно лево-право и принимая короля и ферзя за единую сущность) позиций, так как у симметричных позиций нет парных. Соблюдая симметричность для каждой расстановки пешек считаем количество позиций коней и умножаем на количество позиций ладей (от 1 до 3, не забываем, что при сдвинутых пешках рядом с ладьями могут быть по два коня - свой и соперника), по итогу с учётом начальной расстановки количество симметричных позиций является нечётным, поэтому и общее количество позиций в шахматной игре нечётно.