В помощь Архимеду....

Сергей Леонидович Михайлов

пенсионер

г. Заречный Пензенской области Российская Федерация

Аннотация. Предлагается успешная реализация построения Архимеда в задаче трисекции произвольного угла посредством объединения двух равных окружностей, имеющих общий радиус между ними. Этот новый геометрический объект устраняет неразрешимое ранее препятствие – проблему отметок на линейке - и этим реализует построение Архимеда, ранее считавшееся невозможным.

Ключевые слова: трисекция произвольного угла, построение Архимеда, объединение двух равных окружностей.

ABOUT ARKHIMED CONSTRUCTION IDEA ON THE THREE-SECTON ARBITRARY ANGLE TASK BY THE TWO EQUAL CIRCLES COMBINATION WITH COMMON RADIUS BETWEEN THEM

Sergey L., Mikhailov

retired, Zarechny, Penza region, Russia

Abstract.  Suggest the successful realization of the Arhimed construction idea on the three-section arbitrary angle task by the two equal circles combination with common radius between them. This new geometrical object to liquidate the mark-problem on the ruler and now the three-section arbitrary angle task can be successful solution.

Keywords: three-section arbitrary angle task, Arhimed construction idea, two equal circles combination with common radius between them.

Введение. Знаменитая издревле задача трисекции произвольного угла (разделение на три равные части) исключительно простыми циркулем и линейкой без делений или отметок на ней – традиционно относится к числу неразрешимых задач. Но в некоторых частных случаях или с привлечением дополнительных средств – она всё же разрешима. Автор обратился к идее, приписываемой самому Архимеду, однако классически - она успешна лишь при использовании линейки с отметками на ней и не иначе. Вместо этого – строится исключительно циркулем и линейкой без делений объединение двух равных произвольных окружностей с общим радиусом между ними. Именно это и позволяет успешно реализовать построение Архимеда для произвольных углов, но не свыше 135 градусов (реально – нежелательно свыше 120 из-за особенностей построения вручную). Большие углы могут быть произвольно разделены, а результаты – суммированы.

_________

© Михайлов С.Л., 2022.

1.     Замечательная идея геометрического построения, предложенная скорее всего самим Архимедом, сводится к построению двух равнобедренных треугольников с общей стороной, которые сами составляют больший треугольник, в котором два несмежных угла равны углу, подлежащему трисекции и являющемуся для них – внешним. Причём соотношение в несмежных углах – 1:2 и решает задачу трисекции угла т.к. меньший угол и будет 1/3 от исходного - Рис.1.

Рис.1. К идее построения Архимеда для решения задачи трисекции угла [1] (IV.A.11., Рис.32. с 255). Необходимо получить ΔDEA равнобедренным, как и ΔEAB в составе ΔABD. Тогда для внешнего ^BAC – угол ^BDA – искомый.

2.     Однако такое построение невозможно совершить исключительно циркулем и линейкой без делений, как и требует важнейшее условие, поставленное древними для этой, так и нерешённой до сих пор задачи, даже признанной с доказательством П. Ванцеля – неразрешимой вообще.

3.     Однако многие любители – упорно ищут решение задачи трисекции различными способами, порой и самыми экзотическими, и почти всегда без математического доказательства - чему есть множество данных в сети интернет.

4.     Автор сосредоточился именно на доказательных способах возможных решений этой задачи. Одним из подходов является развитие идеи Архимеда – Рис.1.

5.     При этом эффективным оказалось объединение двух равных окружностей некоторого произвольного радиуса R, имеющих общий R – радиус между собой Рис.2. Тогда можно работать с отрезками длиной R и строить различные треугольники с R – сторонами, что и решает неразрешимую проблему отметок на линейке. Это препятствие отныне успешно обходится построением второй равной окружности, поставляющей как отрезки, так и отметки, делающие их длиной R сразу же в одном этом элементе.

_________

© Михайлов С.Л., 2022.

Рис.2.К реализации построения Архимеда методом сдвоенных R окружностей.

Угол, подлежащий трисекции: ^BAC=45⁰=^GAE. Результат трисекции – угол ^GHE=15⁰. Рисунок не является эталонным для измерений по нему здесь. Треугольник ΔGHE - в результате – состоит из трёх равнобедренных треугольников: ΔGAE, ΔFAE, ΔAFH – именно так и реализовано построение Архимеда, ранее признававшееся невозможным.

6.     Так, если нам дан некоторый произвольный угол ^BAC = β, подлежащий трисекции и имеющий вершину A как центр окружности произвольного радиуса R – квантор ((R – A)), то продолжим луч AC за A на достаточное – 2R – расстояние – прямая CK.

7.     Отложим R отрезок на CK прямой от вершины A – точка F и построим вторую R окружность с центром в F – квантор ((R – F)). Таким образом получим сдвоенные окружности с общим R радиусом, необходимые далее.

8.     Теперь соединим точку B луча AB с центром F в ((R – F)) – отрезок BF и далее продолжим его до пересечения с окружностью ((R – F)) – точка D и прямая BD.

9.     Затем соединяем D с C – прямая DC. Проводим там дугу радиуса R из D и на эту величину сдвигаем исходный угол ^BAC на окружности ((R – A)) от прямой CK – лучи GA и EA соответственно. Таким образом исходный угол занял рабочее положение для дальнейшего.

_________

© Михайлов С.Л., 2022.

Список литературы

1.     М.Я. Выгодский " Справочник по элементарной математике" М., "Наука", 1974, 416с.

Работа выполнялась по собственной инициативе автором лично.

Выводы

1.     Гениальность Архимеда свела всю проблему задачи трисекции угла к проблеме отметок на линейке, используемой в построении (Рис.1.). Все остальные элементы и средства, ведущие к успешному результату – им были предложены ещё в те времена.

2.     Автором – в развитие его замысла – была введена в построение вторая равная окружность (Рис.2.), успешно решившая именно неразрешимую до сих пор проблему отметок на линейке. Вместо «линейки» - предлагается всегда существующий и потому – всегда доступный R – радиус во второй равной окружности.

3.     Это построение строго соответствует требованиям древних постановщиков и не использует никаких дополнительных средств – а только простой циркуль и линейку без делений. Её можно заменить здесь даже лазерным лучом, где делать отметки – невозможно.

4.     Построение второй окружности – никаким дополнительным средством не является, т.к. в постановке этой задачи количество окружностей или дуг – никак не ограничивается, как и способы работы как с циркулем, так и с линейкой без делений на ней.

5.     Кстати, даже построение биссектрисы – уже требует не двух, а трёх окружностей – или их дуг – для деления угла на две равные части.

6.     Ограничение метода для углов в 135⁰ (в ручном построении – лучше не более 120⁰) – несущественно. Любой больший угол – всегда можно представить суммой меньших, а частные результаты – успешно суммировать.

7.     Для решения задачи пяти- и более секции данный метод непосредственно применяться не может.