Почему математики не могут доказать гипотезу Римана. Часть 4.4 Обобщенная функция Харди – Нули обобщенной функций Харди

Прошлый раз мы получили бесконечное множество функций вещественной переменной

где

Тэта — это угол, на который необходимо повернуть отрезок, который соответствует значению Дзета функции Римана на прямой с абсциссой 1/2, чтобы он совместился с вещественной осью (или угол, на который необходимо повернуть систему координат, чтобы вещественная ось совместилась с указанным отрезком).

Мы рассмотрели, как должны выглядеть комплексные нули функции Харди

И выяснили, что в силу непрерывности Дзета функции Римана будут иметь комплексные нули все функции

где

Поэтому мы можем с уверенностью сказать, что обобщенная функция Харди не имеет комплексных нулей при

т.к. если мы предположим, что обобщенная функция Харди имеет комплексные нули при

то в силу непрерывности Дзета функция Римана должна иметь нули при

но как известно все нетривиальные нули Дзета функции Римана лежат в промежутке

Очевидно, что

т.к.

и

Очевидно, также, что на промежутке

Все функции

т.к.

где

Такое же количество нулей Риман вычисляет для Кси функции

При этом Риман без всяких рассуждений указывает, что интеграл

по прямоугольному контуру, ограниченному прямыми

равен

Это количество действительно такое в соответствии с теоремой о количестве нулей и полюсов комплексной функции, лежащих в ограниченном контуре

Оказывается, все дело в логарифме Гамма функции (Титчмарш)

Там же у Титчмарша находим Относительно Кси (большое) функции Римана

Такой же результат мы находим у Ландау относительно непосредственно Дзета функции Римана

Остаточный член

указывает границы смещения нулей функции Харди относительно нулей функции

Очевидно, что для функции Харди

смещение нулей максимальное

При расчете нулей Дзета функции Римана Гордон обнаружил экстремальные смещения нулей функции Харди.

A) Максимальное расстояние между соседними нулями:

Между нулями функции Харди помещается 4 нуля (точки Грама) функции

B) Максимальное количество нулей на одном промежутке между двумя точками Грама

Мы выяснили:

- что все функции (обобщенная функция Харди)

имеют одинаковое количество нулей и все нули вещественные

 - количество нулей обобщенной функции Харди при

совпадает с количеством нулей Дзета функции Римана;

- нули функции Харди имеют максимальное смещение относительно нулей функции

Продолжение следует