Почему математики не могут доказать гипотезу Римана. Часть 4.2 Обобщенная функция Харди – Приближенное функциональное уравнение

Мы помним, что формула для вычисления функции Харди появилась в 1932 году, когда Зигель нашел ее в архивах Римана в Геттингёнском университете:

Риман получает эту формулу из приближенного функционального уравнения Дзета функции

Мы видим, что Риман находит выражение для вычисления не только функции Харди, но и значений Дзета функции.

Очевидно, что Риман использует выражение для Хи функции, которое мы видим у Титчмарша (стр. 94)

Годфри Харолд Харди и Джон Индензор Литлвуд публикуют в 1921 году такое же выражение для Дзета функции Римана, но ограничиваются оценкой остаточного члена:

Харди и Литлвуд также указывают приближенное выражение для Хи функции:

где

обобщенная Тэта функция.

где

остаточный член функции Тэта.

Множитель остаточного члена обобщенной функции Тэта может быть получен расчетным путем

Очевидно, что на прямой с абсциссой 1/2 

Используем спираль Римана, чтобы разобраться с приближенным функциональным уравнением Дзета функции.

Ранее мы определили точки разворота и точки перегиба спирали Римана, которые связаны относительными углами отрезков из которых состоит спираль Римана.

Если соединить точки, которые соответствуют видимым точкам разворота спирали Римана, то мы получим (расчетным путем) отрезки, которые подобны отрезкам спирали Римана.

где константа получена расчетным путем

Если продолжить строить такие отрезки там, где точки разворота спирали Римана уже не видны

то получится спираль, отрезки, которой закручиваются удивительным образом вокруг нуля комплексной плоскости

Назовем отрезки, соединяющие точки разворота спирали Римана средними отрезками, а спираль, которая получается из средних отрезков – обратная спираль Римана.

Тогда мы можем записать равенство, которое напоминает функциональное уравнение Дзета функции Римана

Сравнивая с выражением для Хи функции 

находим, что 

угол первого среднего отрезка примерно в два раза больше чем угол отрезка, соответствующего значению Дзета функции Римана на прямой с абсциссой 1/2

и наконец сами средние отрезки соответствуют вычетам интеграла, который Риман использует для аналитического продолжения Дзета функции

В полученном нами равенстве суммы отрезков спирали Римана и суммы отрезков обратной спирали Римана, мы видим равенство приближенных уравнений Дзета функции, записанных для смежных значений.

Если оставить часть отрезков спирали Римана и часть отрезков обратной спирали Римана, то мы можем заметить, что сумма оставшихся отрезков (по построению) равна значению Дзета функции Римана

Отрезок, который компенсирует эту сумму, соответствует остаточному члену приближенного функционального уравнения Дзета функции Римана

Таким образом мы получили геометрическую интерпретацию:

- функционального уравнения Дзета функции Римана

- вычетов интеграла, который Риман использовал для аналитического продолжения Дзета функции

- приближенного уравнения Дзета функции Римана

- остаточного члена этого приближенного функционального уравнения

Продолжение следует