Почему математики не могут доказать гипотезу Римана. Часть 4.1 Обобщенная функция Харди – Вещественные функции комплексного переменного
- И теперь не все готово?
- Не готово. Что ж такого, стрижка только начата!
Мы знаем, что Риман сформулировал свою гипотезу о нулях Кси функции
При этом Риман утверждает, что Кси функция – вещественная при вещественных t, не ссылаясь ни на какие ее свойства, видимо, потому, что в правой части, полученного выражения, нет ни одной мнимой единицы.
Собственно, здесь мы со слов Римана узнаем, что, возможно, все нули этой функции вещественные.
В этом заключается гипотеза Римана, хотя в официальном определении гипотезу Римана связывают с не с нулями Кси функции, а с нулями Дзета функции Римана.
Обозначение Кси (большое) для Кси (малое) функции Римана на прямой с абсциссой 1/2 можно найти у Эдмунда Ландау в теории распределения простых чисел, изданной в 1909, которая является одним из первых подробных исследований Дзета функции Римана:
Следует заметить, что Ландау уже использует современное обозначение Гамма функции
У Титчмарша мы можем найти выражение, которое связывает Кси (большое) функцию Римана и функцию Харди:
Почему функция комплексного переменного становиться вещественной функцией?
Мы знаем, что комплексное число – это отрезок, который является линейной комбинацией вещественной и мнимой единицы:
Значение Дзета функции Римана на прямой с абсциссой 1/2 также является комплексным числом.
Каким образом, умножение на комплексную экспоненту, которая тоже является комплексным числом, превращает Дзета функцию Римана в функцию вещественной переменной?
Мы знаем, что комплексное число имеет, кроме геометрического, также тригонометрическое представление:
Рассмотрим правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:
Это равенство легко получить простым перемножением и приведением подобных членов:
затем использовать тригонометрические формулы суммы углов синуса и косинуса:
Хотя проще, используя формулу Эйлера:
перевести оба числа в экспоненциальную форму, а результат обратно в тригонометрическую:
Из формулы Эйлера так же следует, что комплексная экспонента является радиусом единичной окружности:
Следовательно, умножение на комплексную экспоненту, меняет угол наклона отрезка, соответствующего комплексному числу, и не меняет размера этого отрезка, т.е. модуля комплексного числа, т.к. модуль комплексной экспоненты равен 1.
Таким образом, комплексная экспонента поворачивает отрезок, соответствующий комплексному числу на заданный угол, т.е. является оператором поворота.
С другой стороны, можно сказать, что отрезок остается на месте, а поворачивается на заданный угол система координат, в любом случае мы получаем новые координаты отрезка.
Мы помним, что Риман для аналитического продолжения Дзета функции использовал интеграл Гамма функции и получил инвариантное (т.е. независящее от перестановки переменных) выражение.
Функциональное уравнение Дзета функции Римана в современной записи Гамма функции имеет следующий вид:
Тогда на прямой с абсциссой 1/2 получим:
Очевидно, что с разных сторон уравнения мы получили сопряженные значения Дзета функции Римана.
Тогда множители перед Дзета функцией Римана должны иметь противоположные (равные по модулю и обратные по знаку) значения, так чтобы в левой части отрезок, соответствующий значению Дзета функции Римана на прямой с абсциссой 1/2, повернулся по часовой стрелке, а в правой части – против часовой стрелки до совмещения с вещественной осью:
Мы получаем равенство сопряженных значений функции Харди, которое возможно, только если оба числа вещественные.
Таким образом, Тэта — это угол, на который необходимо повернуть отрезок, который соответствует значению Дзета функции Римана на прямой с абсциссой 1/2, чтобы он совместился с вещественной осью (или угол, на который необходимо повернуть систему координат, чтобы вещественная ось совместилась с указанным отрезком):
Мы помним, что Грам пришел к такому же выражению:
Грам использует альтернативное выражение для множителя в функциональном уравнении Дзета функции Римана.
Мы можем найти различные выражения этого множителя у Титчмарша в теории Дзета функции Римана:
Кроме того, Титчмарш (стр. 94) на указывает, что Тэта функция равна корню квадратному из функции Хи
Мы выяснили:
- что функциональное уравнение на прямой с абсциссой 1/2 связывает два сопряженных значения Дзета функции Римана, которые являются вещественными;
- как связаны между собой две вещественные функции, нули которых совпадают с нулями Дзета функции Римана на прямой с абсциссой 1/2;
- как функция Тэта связана с функциональным уравнением Дзета функции Римана.
Продолжение следует