«О принципе Маха замолвите слово»

Часть 2

Продолжение поста посвященного роли «принципа Маха» в осмыслении явления инерции предназначено для тех, кого не пугает простая математика в объеме старших классов средней школы, максимум – первого курса ВУЗа. И, конечно, для тех, кто способен смотреть на привычные понятия и явления немного шире, чем это принято в «приличном» физическом сообществе.

Инерция - это, как раз, одно из таких явлений, которые допускают более глубокое, чем это обычно принято, толкование, на что обратил внимание еще Спиноза. Он связал инерцию не только, и не сколько с сохранением механического состояния каждого тела, а также и с сохранением самого бытия этого тела, неизменностью его внутренних свойств, например, массы, то есть с фактом тождественности тела самому себе во всех его перемещениях.

«Всякая вещь, поскольку [это] от нее [самой] зависит, стремится пребывать в своем существовании (бытии)» (Спиноза «Этика» ч. III, Теорема 6). Или то же самое в образном изложении Борхеса: «… сущее стремится пребыть собой, камень – вечно быть [тем же] камнем, тигр – [тем же] тигром».

Поэтому более продуктивным, чем использование понятий скорости перемещения и массы тела, взятых порознь, является описание состояния тела с помощью понятия его импульса или количества движения, которое обычно определяется как произведение массы тела и скорости его перемещения.

Тогда математическое выражение второго закона Ньютона приобретает следующую дифференциальную форму записи:

То есть изменение количества движения данного тела (импульса тела) за бесконечно малый промежуток времени равно импульсу внешней силы, которая действовала на тело в течение этого промежутка времени.

Такая формулировка делает более очевидным то чаще всего игнорируемое обстоятельство, что действие внешней силы вызывает изменение не только скорости перемещения тела, но и изменение его массы.

Иначе говоря, благодаря взаимодействию с другими телами, совместно изменяются сразу две физические величины – скорость перемещения и масса ускоряющегося тела, что вполне согласуется с выражением для так называемой «релятивистской массы» в специальной теории относительности (СТО):

Изменение этих величин происходит одновременно в результате действия на данное тело одной и той же внешней силы, попутно создавая иллюзию причинно-следственной связи между изменениями скорости и «массы» этого тела. В действительности, тело попросту не может избежать всей полноты внешнего воздействия, которое оказывает влияние на него как на целостную сущность, то есть, согласованные изменения претерпевают, как внешние параметры его механического состояния, так и внутренние параметры, в данном случае это скорость перемещения и масса тела.

Соображения симметрии дают формальные основания и требуют уточнения физического смысла величины, обычно позиционируемой, в том числе и в импульсном выражении второго закона Ньютона, как «масса». Эта самая «масса» фактически выступает здесь в роли величины, имеющей смысл скорости изменения гравитационной массы (тяжести) тела с течением времени:

Последнее выражение математически выглядит аналогичным выражению для скорости перемещения тела, за исключением того, что роль радиус-вектора в нем играет гравитационная масса.

Однако в физическом смысле, фигурирующие в выражениях для упомянутых скоростей, радиус-вектор тела и его гравитационная масса представляют собой величины существенно различающиеся между собой.

Дело в том, что наблюдаемое постоянное значение массы тела можно однозначно сопоставить с тем мгновением настоящего времени, в которое она фиксируется. Это значение массы служит признаком привязанности тела к его существованию в течение рассматриваемой последовательности равноценных между собой мгновений настоящего (естественной закрепленности тела в данной «точке» времени).

О радиус-векторе тела ничего подобного в общем случае сказать нельзя: свободное тело, по определению, не зафиксировано ни в одной из точек пространства, если его закрепление не оговорено специально, но тогда рассматриваемое тело уже перестает быть свободным.

Итак, если на данное тело действует какая-либо внешняя сила, то оно совершает ускоренное перемещение в пространстве и его радиус-вектор изменяется по параболическому закону. При этом наблюдаемое тело все время продолжает оставаться в настоящем, то есть во времени не «перемещается». Однако, согласно предложенной выше импульсной формулировке второго закона Ньютона, это тело обязано ускоренно изменять и свое положение во времени, которое мы связали с величиной его массы.

Разрешить это явное противоречие позволяет предположение о том, что внешняя сила не изменяет положение тела во времени, как целого, а лишь «деформирует» это тело, изменяя его массу в степени недостаточной для того, чтобы тело могло покинуть «свои» мгновения настоящего, в которые оно наблюдается. Указанная «деформация» носит упругий характер, и ей препятствует возникающая в результате действия внешней силы некоторая сила внутренней природы, пропорциональная происходящему изменению массы тела:

Таким образом, внешняя сила вызывает изменение скорости изменения массы тела не напрямую, как это происходит с изменением скорости его перемещения, а предварительно трансформировавшись во внутреннюю силу, препятствующую «деформации» массы тела. Используя определения Ньютона, можно сказать, что «приложенная» сила (vis impressa) «втискивается» (imprimitur) в тело, преобразуясь во «врожденную» силу (vis insita или vis inertiae).

Здесь будет нелишним упомянуть, что еще в XV веке немецкий философ и теолог Николай Кузанский в трактате «Игра в шар» предполагал нечто подобное. Он считал, что сила передается телу извне от других тел сразу же в момент броска (толчка или удара). Затем сила все время «находится» в брошенном теле, поддерживая его дальнейшее движение, как бы, изнутри. К сожалению, Галилей, в свое время, не обратил должного внимания на эту гениальную догадку, и своим авторитетом «убедил» Ньютона в неизбежности признания статуса постулата у закона инерции.

Итак, рассмотрим равномерно движущееся с некоторой скоростью тело.

Пусть в некоторый начальный момент времени на него начинает действовать внешняя сила. За бесконечно малый промежуток времени эта сила успевает изменить на бесконечно малую величину не только скорость перемещения тела, но и его массу.

В результате, после завершения ее действия, через конечный промежуток времени, данное тело продолжит движение с новым постоянным значением скорости и изменившейся массой.

Развернем импульсную формулировку второго закона Ньютона, заменив инертную массу тела его гравитационной массой, что на вполне законных основаниях позволяет сделать принцип «эквивалентности» этих масс, точнее, факт их пропорциональности друг другу:

Интегрируя соответствующее выражение, найдем изменение массы тела за время действия внешней силы:

Если ко времени окончания действия внешней силы рассматриваемое тело останавливается, то необходимое для этого ускорение можно обозначить символом:

и записать выражение для некоторой силы, пропорциональной изменению гравитационной массы тела (знак «минус» учитывает то обстоятельство, что скорость тела уменьшается):

Эта сила и представляет собой не что иное, как силу инерции или силу сопротивления «деформации массы» тела, в которую преобразовалась внешняя сила после завершения воздействия на тело в своем исходном качестве. Теперь, она оказывается уже как бы внутри данного тела и стремится вернуть телу первоначальное значение его массы, придавая этому процессу соответствующее ускорение:

Из контекста рассматриваемой задачи и соображений размерности следует, что коэффициент пропорциональности в правой части последнего выражения представляет собой радиус-вектор точки, в которой находилось наблюдаемое тело в тот момент времени, когда на него начала действовать внешняя сила.

Введя следующие обозначения:

находим, что уравнение изменения гравитационной массы тела после завершения его взаимодействия с другими телами имеет вид:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью имеет хорошо известное решение:

Таким образом, можно утверждать, что процесс восстановления тяжести тела после взаимодействия носит динамический характер: величина гравитационной массы совершает гармонические колебания относительно своего исходного равновесного значения.

Разумеется, что при решении большинства практических задач, особенно в области макроскопических явлений, переменностью тяжести материальных объектов можно пренебречь. В самом деле, при таких громадных частотах и ничтожных амплитудах колебания тяжести непосредственно не наблюдаемы, и измерению доступно лишь среднее по времени наблюдения значение гравитационной массы объекта, совпадающее с ее равновесным значением. Однако в области явлений микромира, колебания тяжести элементарных объектов играют более заметную роль, и должны учитываться при анализе процессов, происходящих с их участием.

И в заключение, отметим, что при гармоническом характере изменения гравитационной массы тела принципу «эквивалентности» масс можно удовлетворить, если придать инертной массе физический смысл ускорения изменения гравитационной массы. Точнее, если предположить пропорциональность инертной массы этому ускорению, то есть математически определить ее следующим образом:

Сравнение этого выражения с выражением, описывающим изменение гравитационной массы, позволяет выявить то принципиальное обстоятельство, что инертная масса тела гармонически изменяется относительно равновесного значения его гравитационной массы, но в противофазе с изменением последней.

Таким образом, на самом деле, эти величины совпадают периодически - только в определенные моменты времени, то есть оказываются равными друг другу не непрерывно, а дискретно. Значения гравитационной и инертной масс любого тела совпадают лишь в точках перегиба соответствующих функций, то есть всего дважды в течение одного периода изменения массы данного тела. В точках поворота этих функций максимальному значению функции, описывающей изменение гравитационной массы, соответствует минимальное значение функции, которая описывает изменение инертной массы, и наоборот.