Так, ладно, всё-таки попробую ответить. Хотя, тут не будет опоры на конкретные исторические документы, а в основном логические выводы, на основании общих знаний по истории и архитектуре.
Тут, наверное, было два основных этапа.
I. Соглашусь с ответом Сергея Ивлева, что началось с дач. Но только, думаю, это стало входить в практику не во времена Николая I, а позже - во второй половине XIX века и его конце. Именно тогда:
- Дачи становятся массовым явлением, причём относительно доступным разным сословиям.
- Они отделяются от барских усадеб, и становятся тем, что более-менее подразумевается под этим словом сейчас.
Ну то есть, стали строить не капитальные "родовые дома", а что-то более демократичное и современное. Не в стиле традиционного ампирского дома с колоннами, а так, чтобы, например, можно было утром, при максимальном освещении, попить чай - для чего, собственно веранды и служат. Одновременно же и стекло уже начинает выпускаться промышленно и массово, становясь всё более доступным.
Но крестьянских домов это едва ли коснулось. Сельская архитектура весьма консервативна, а традиционная русская изба застеклённую веранду в себя не включает.
II. Такие веранды можно заприметить во множестве этих старых домиков с резными окнами, что мы видим, проезжая мимо частного сектора. Но только дома эти - не традиционные избы, хотя и "косят под них". Это, в основном, типовые проекты, разработанные профессиональными архитекторами в советское время. С избами их, в реальности, роднит лишь внешний вид. Массово стали строиться такие домики где-то с 1950-х гг. И примерно тогда же стартовала новая волна дач (формально, садоводческих товариществ - их от "настоящих" дач, положенных, прежде всего, отличившимся гражданам, отличали юридически, и ставили некоторые ограничения). Вот это - второй этап.