Знаю, что в Грузии нельзя больше трех месяцев ездить на российских номерах. Что делать переезжающим в таком случае?

Выезжаете либо в Турцию, Либо в Россию и обратно. В Турцию необходима страховка, В Россию тоже, но она либо должна быть, либо уже у Вас есть. И возвращаетесь обратно сразу.