Нет, не законно.
Если вы фактически уже 22 дня работаете в организации, то у вас с первого дня должен быть заключен трудовой договор.
Заявление это формальность. Прием на работу оформляется приказом (распоряжением) генерального директора, на основании заключенного трудового договора.