В каких инстанциях необходимо получить разрешение на оказание бытовых услуг (оформление бровей и ресниц)?

Инстанция не так уж и много. Это Роспотребнадзора и Государственная пожарная служба. В первом адресе решаете с гигиеной и безопасностью здоровью, во втором - безопасность на случай всякого неприятного.
Соответствовать будете парикмазерским, потому что нет у нас отдельно бровей и ресниц.