"Стареют" ли белки в организмах, и если да, то почему и как быстро?

Нет, белки — расходный материал, который используется для нужд организма. Когда он перестает быть нужным, организм его утилизирует. Но "стареет" ДНК, на основании которой синтезируется белок.