Правильно ли выражение: “Yesterday morning the car wouldn’t start, so I was late for work” ?

Да, вполне. Если вас смущает модальная форма wouldn't вместо ожидаемой didn't, то они вполне в данном контексте синонимичны, но носители часто прибегают именно к wouldn't, чем придают автомобилю "человечности"...