Нет, не должны. Я бы даже сказал, что они не очень могут.
В статье 65 Конституции РФ прописаны все субъекты РФ и их названия. ДНР и ЛНР так и записаны - Донецкая Народная Республика и Луганская Народная Республика.
Так что пока они в составе РФ, менять название им не позволено. Если только снова не изменить Конституцию.
А если в результате войны они окажутся вне России, тогда всё может быть.