Очень рекомендую взять копию свидетельства о рождении, желательно, нотариально заверенную. Фамилии у ребенка и матери могут быть разные, с этим никаких проблем не возникает, так что нотариус ничего и не сказала. Но она, возможно, не знала, что в свидетельстве другая фамилия?
Свидетельство о рождении в аэропорту нужно именно для того, чтобы убедиться, что разрешение выписано именно родителем ребенка, а не чужим человеком. Больше ни для чего.