Можно ли завести щенка, если уже есть взрослый кот? Если да, то как их подружить, чтоб они не дрались?

Да, можно. Кот, конечно , сначала будет шипеть на щенка, но через неделю-две привыкнет.
Будут ли они дружить - неизвестно. Если кот не очень старый - вполне возможно.