Можно ли заключить договор с новым генеральным директором, как с "самозанятым"?

Нельзя. Генеральный директор — это штатный сотрудник, который предполагает трудовые взаимоотношения, а не самозанятость.
Даже если вы заключите с таким сотрудником договор как с самозанятым, налоговая определит такие отношения как трудовые. А это приведёт к доначислению налога, штрафов, пени, а также может стать основанием для углубленной проверки организации по работе с другими самозанятыми, ИП или физлицами и сотрудниками в штате.