Лицо, занимающееся грузоперевозками по закону считается перевозчиком. А перевозчик — это юридическое лицо или ИП, который принимает на себя по договору обязательства по перевозке пассажиров или грузов и багажа (п. 13 ст. 2 ФЗ от 08.11.2007 N 259-ФЗ «Устав автомобильного транспорта и городского наземного электрического транспорта»).
Поэтому такой водитель может оказывать услуги перевозок, но для этого ему придётся стать индивидуальным предпринимателем с применением НПД.
Можно использовать как свой, так и арендованный грузовой автомобиль, но указать аренду, как часть расходов на заказ, самозанятый не сможет.