МК погасили часть ипотеки, с мужем развелись, перестал платить, говорил, что банк забрал квартиру. Может ли банк забрать жильё, и как быть?

Смысл ипотеки для банка как раз и заключается в возможности забрать жилье. При этом не является препятствием ни материнский капитал, ни наличие зарегистрированных в жилье несовершеннолетних детей.
Реализация жилья банком-процесс не быстрый. Сначала судебный порядок обращения взыскания-минимум три месяца, потом исполнение - передача на ответственное хранение, оценка, реализация.... Еще не меньше 6 месяцев.
Сначала собирите информацию. Выписка ГРН о правах и обременения на квартиру, сайт суда по месту квартиры в части принятых решений об обращении взыскания (ищите по ответчику), сайт службы судебных приставов--есть ли производство к должнику и когда начато.
Если все ещё не в финальной стадии, то рационально договориться с банком о продаже квартиры в погашение долга за счёт средств от продажи. В этом случае ещё возможно получить разницу. Если продажа будет на торгах, то дисконт иногда такой, что не хватает на погашение долга с процентами и неустойками.
Если бывший муж ничего не предпринимает и не хочет--хотя бы подайте на алименты, лучше в твёрдой форме, обосновав их потребностью детей в жилье. В этом случае сможете получить хоть что-то при реализации квартиры или при банкротстве первоочередно, по отношению к другим кредиторам.