Добрый день! Заданный Вами вопрос можно по разному трактовать, однако смею предположить, что мы говорим именно о том, кому возвращать средства - плательщику (родителю) или получателю услуги (ребенку). Мой ответ следующий: исходя из п. 1 ст. 313 ГК РФ исполнение обязательства может быть возложено должником на третье лицо. Кредитор в этом случае обязан принять исполнение, предложенное за должника третьим лицом. Праву должника возложить исполнение на третье лицо корреспондирует обязанность кредитора принять соответствующее исполнение. Как следует из закона родитель оплачивая услугу для ребенка, не может самостоятельно себе вернуть с поставщика услуг уплаченные средства, однако Вы можете истребовать полученную сумму ребенком у поставщика услуг непосредственно у своего ребенка.
Всё это звучит конечно не очень правильно, однако сами поразмышляйте: Вы оплатили за кого то деньги, и отношения у вас возникают именно с этом лицом (за кого платили), а отношений с поставщиком услуг у вас не возникает - нет договора. Хотя если договор заключался от имени Родителя за предоставление услуг ребенку, то в данном случае возврат получает Родитель.
Самый простой выход из ситуации - написать обращение к поставщику услуг о необходимости произвести возврат на имя законного представителя (Родителя, который оплачивал услуги) на ... реквизиты и данным письмом вы решите все свои вопросы.