У Яндекса нет отдельного сервиса для того, чтобы скачать все свои данные, как есть у некоторых сервисов, например Google. Для этого нужно писать запрос на адрес техподдержки support@yandex.ru. Вам нужно будет подтвердить свою личность паспортными данными.
На эту тему есть хорошая статья на медузе.