Если бы внезапно исчезло Солнце, то уже через сутки температура поверхности планеты упадет до -40..60 °С. После того, как вся влага из атмосферы будет выморожена, потеря тепла многократно ускорится и охлаждение поверхности и атмосферы до температуры конденсации азота произойдет буквально за несколько суток. Это приведет к почти полной потере атмосферы, так как она просто конденсируется. В подземных убежищах положительная температура сохранится еще долго, но воздуха там не станет, если только их не сделать абсолютно герметичными, как космический корабль. Поэтому нет, человечество выжить не сможет.
Но Солнце просто так погаснуть не может. Давайте рассмотрим пару вариантов "погасания Солнца".
В обоих случаях никакой речи о замерзании Земли идти не будет.
Солнце не погаснет, потому что оно -точка концентрации СВЕТА сознания и разума. Пока будет жив хоть один человек, будет светить и Солнце. Так что беспокоится не о чем.