Вопрос звучит не совсем корректно, потому что не до конца ясно, что такое нерешаемые уравнения. Я могу предположить как минимум четыре варианта, что это такое.
1) Нерешаемое уравнение может означать отсутствие корней. Тогда ответ на ваш вопрос, что да, бывают. Бывает даже одно уравнение, которое не имеет корней, скажем, в действительных числах.
x^2 + y^2 = -1
Чтобы получить два уравнения, достаточно продублировать это единственное, или составить еще одно аналогичное. Правда, это же уравнение имеет решение в комплексных числах. Можно составить уравнение, которое имеет корни в действительных, но не имеет в целых, например, 3x+6y=2020. Тут большой простор для фантазии. Но все таки отсутствие корней не есть неразрешимость. Решение есть и оно совпадает с пустым множеством.
2) Нерешаемое уравнение может означать, что его корни нельзя выразить с помощью элементарных функций. Такие уравнения бывают и для одной переменной, а не только для двух. Второе неизвестное здесь может выполнять декоративную форму. Например, неразрешимы в элементарных функция следующие уравнения:
Если хотите непременно с "игрек", то
x^5 -x + 0•y = a
и продублируйте два раза, чтобы система получилась.
Вы, кстати, можете уже дважды заметить, что всегда достаточно одного уравнения и одной неизвестной, потому что если такое есть, то и два уравнения с двумя неизвестными тоже есть
3) Нерешаемое уравнение можно также истолковать в алгоритмическом смысле. Вопрос будет звучать так. Существуют ли уравнения, корни которых нельзя выразить не то, что в элементарных функциях, нельзя их в принципе найти никаким алгоритмом? Это так называемая 10-ая проблема Гильберта. И да, такие уравнения тоже существуют. Решение 10-ой проблемы было окончательно получено в 1970 году.
4) Под нерешаемым уравнением (системой) с большой натяжкой можно также понимать уравнение (или систему), которое на данный момент не решено. В том смысле, что математики не знают, как его решить. Но это скорее всего тогда не нерешаемое уравнение, а неизвестно, решаемое или нет. Если про систему или уравнение известно и доказано, что решение найти невозможно, то это скорее предыдущий описанный случай.