Увидела версию, что английское слово «immediately» произошло от «im + медлить», которое в свою очередь - от «мёд лить». Как на самом деле?

На самом деле тут не нужно даже проводить какие-то серьёзные исследования, потому что достаточно знать две самые базовые вещи.

Первая - это то, что внутри языка слова меняются не просто так, а по определённым правилам. И у нас есть слово "мёд" на английском - mead. А это означает, что если бы слово immediately было образовано от слова "мёд", то оно подверглось бы таким же изменениям, и выглядело бы как *immeadiately.

А вторая - это то, что носитель там, где дилетант-иноязычник будет искать какие-то созвучия в целом слове, носитель языка легко сможет разобрать слово по составу (хотя бы примерно), и привести аналоги с другими словами. И носитель языка сразу увидит, что есть слова immediate, deviate, lonely и так далее. То есть поймёт, что частицы -iate- и -ly- не являются частью "корня" слова (чувствую себя странно, рассказывая знания из начальной школы, но что поделать) - а значит, не могут быть образованы от одного слова, не говоря уже о том, что совершенно непонятно, с какого перепугу "иэйтли" похоже на слово "лить" - по совпадению двух переставленных согласных, что ли? Да так можно любое слово к любому привязать. Я вот Игорь, но если поменять "г" и "р" местами и добавить случайных букв, то получится Рагуил - такой библейский архангел. Совсем похожие слова)) К счастью, ни языки, ни лингвистика так не работают, и в реальных языках подобного хаоса просто не существует.

А так слово immediately происходит от латинского immediatus и родственно слову "медиана" и английскому middle.

Что касается sternum и стерни - то да, они, вероятно, происходят от одного древнего корня, который означал "распространяться, расширяться". В латинском языке это слово попало как обозначение груди, которая расширяется при дыхании, а в русском - в виде слова "тёрн", откуда при помощи приставки с- и образовалась стерня. А вот слово stern совершенно отдельно - его корень ster- как был с древних времён обозначением звезды, так и и остался во всех языках, где прижился, и каких-либо поводов подозревать его в связях с терновником нет))