Юрий Богданов удостоен наград и званий лауреата на международных конкурсах: им. И. С. Баха в Лейпциге 1992 г. (III премия) им. Ф.Шуберта в Дортмунде в 1993 г. (II премия), им. Ф.Мендельсона в Гамбурге в 1994 г. (III премия) им Ф.Шуберта в Вене в 1995 г. (Гран-при), им. Эстер-Хоненс в Калгари (IV премия), им. С.Зайлера в Китцингене в 2001 г. (IV премия). Ю.Богданов победитель фестиваля «Апрельская весна» в Пхеньяне в 2004 г. и обладатель специального приза на международном конкурсе пианистов в г. Сиднее в 1996 г. В 1992 году пианисту была присуждена первая в России стипендия им. А. Н. Скрябина, в доме-музее которого Юрий Богданов в 1989 году сыграл свой первый сольный концерт.
Ведёт активную концертную деятельность, выступал более чем в 130 городах России и ближнего зарубежья. Гастролировал в Австрии, Австралии, Азербайджане, Албании, Аргентине, Армении, Белоруссии, Бельгии, Болгарии, Германии, Греции, Израиле, Испании, Италии, Казахстане, Канаде, Канарских островах, Китае, Мексике, Нидерландах, Норвегии, Польше, Северной Корее, Сербии, Словакии, США, Туркменистане, Украине, Уругвае, Франции, Швейцарии, Эстонии, Японии. С 1997 года Ю.Богданов — солист Московской Государственной Академической Филармонии. Он выступал в лучших концертных залах Москвы, включая Большой зал МГК им. П. И. Чайковского и Концертный за им. П. И. Чайковского, в качестве солиста играл с симфоническими оркестрами Гостелерадио России, Кинематографии, Московской филармонии, Государственной академической симфонической капеллой России, «Гнесинские виртуозы», Deutsche Kammerakademie, Calgary Philharmonic, Государственным симфоническим оркестром под управлением В.Понькина, Государственным симфоническим оркестром под управлением В.Дударовой, Симфоническим оркестром Москвы «Русская филармония», Дальневосточным академическим, Симфоническим оркестром Приморского театра оперы и балета, Симфоническим оркестром Мурсии (Испания), Кубанским симфоническим оркестром, Montevideo Philharmonic, Телевидения и радио Албании, Брянским губернаторским, Orchestra Sinfonica di Sanremo и другими. Пианист сотрудничал с дирижёрами: В.Полянским, В.Понькиным, П.Сорокиным, В.Дударовой, С.Скрипкой, Э.Серовым, М.Хохловым, И.Горитским, М.Бернарди, Д.Шаповаловым, А.Политиковым, П.Ядых, А.Гуляницким, Е.Непало, Э.Дядюрой, И.Дербиловым, А.Лубченко, С.Тарариным, Д.Ивенским, И.Вербицким, Э.Амбарцумяном, К.Крузом, Й.Ригером, К.Фицнером, В.Мартиросяном и др..
Пианист записал 10 компакт дисков. Диск из произведений Франца Шуберта признан Венским институтом им. Ф. Шуберта лучшей записью произведений Шуберта в мире в 1996 году. Юрий Богданов ведёт педагогическую деятельность в Российской академии музыки им. Гнесиных. В марте 2010 г. Ю.Богданову присвоено учёное звание доцента. С апреля 2012 года Юрий Богданов — профессор РАМ им. Гнесиных. В сентябре 2019 г. музыканту присвоено учёное звание профессора.