Немного о дифференциалах (из размышлений)

Ни в коем случае не стоит оценивать данный пост с научной точки зрения! Более того, я не претендую на достоверность и на использование математически верных понятий. Это скорее выражение собственных соображений, которые могут использоваться скорее в развлекательной, чем в научной деятельности.

Производная функции y(x) по х в нотации Лейбница записывается следующим образом:

Существует несколько точек зрения по поводу целостности данного "отношения" (встречал людей, считающих оператор d/dx неделимым, равно как и людей, считающих производную по Лейбницу отношением дифференциала функции y к дифференциалу аргумента х). Так как данное творение, опять же, не претендует на грамотность, буду использовать второе предположение, так как оно обладает невероятно большим количеством удобств в сравнении с "неделимым оператором d/dx".

Вообще, довольно удобно "смешивать" различные обозначения:

Откуда, впрочем:

Для дифференцирования по функции:

Что, в целом, соответствует "цепному правилу":

И вот как-то раз встал вопрос: а что делать со второй производной? Оказывается, что то же самое "цепное правило" работает со второй производной несколько неоднозначно. Я даже не уверен, что оно применимо. Если вдруг случайно окажется, что данный пост прочитает математик, который, в отличие от меня, в этой теме разбирается, надеюсь, что он сможет прояснить данный момент.

Для дифференциалов довольно очевидны тождества:

Они следуют прямо из правил дифференцирования (производная суммы, произведения, частного для функций, зависящих от одной переменной).

И когда мы говорим "вторая производная", подразумевается равенство:

Равенство, надо заметить, по определению. Однако если читать запись 

Как

То левая часть данного равенства принимает следующий вид (согласно правилу дифференцирования частного):

То есть, уменьшаемое совпадает с "второй производной" по определению, но появляется и вычитаемое! Причём это самое вычитаемое содержит первую производную по y. Когда я "доразвлекался с псевдоматематическими рассуждениями " до этого момента, пришлось задуматься, правильно ли вообще я использовал вторую производную…

"Подводный камень" заключается в том, что если положить функцию y зависимой от x, то величина

Оказывается равной нулю. Приращение по аргументу является константным (оно не меняется в зависимости от какой-либо другой величины), следовательно это самое вычитаемое обращается в ноль, откуда и получается тождественное равенство

Если же положить вторую производную по некоторой зависимости, она обещает быть сложнее:

Действительно, если положить, что t = z(x), то:

И отсюда мы приходим к существенно более укомплектованному равенству:

Так как композиция функций зависит от t и, следовательно:

Вот и вся мысль, которую хотелось выразить в час ночи. Пожалуйста, не придирайтесь и не пишите что-либо вроде "не соответствует принятым математическим стандартам" или "бред полнейший". Я в этом и так неслабо убеждён, поэтому воспринимаю данное мыслеизлияние скорее как творчество :)

Всем прочитавшим спасибо за терпение!